বেইসের উপপাদ্য: এটি কী, কীভাবে এটি গণনা করা হয় এবং কীভাবে এটি ব্যাখ্যা করা যায়

বেয়েসের উপপাদ্য হল শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা নির্ধারণের জন্য একটি গাণিতিক সূত্র। অর্থের ক্ষেত্রে, বেইসের উপপাদ্যটি সম্ভাব্য ঋণগ্রহীতাদের অর্থ ঋণ দেওয়ার ঝুঁকি মূল্যায়ন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বেইসের উপপাদ্যের প্রয়োগ ব্যাপক এবং আর্থিক ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ নয়। আসুন তাহলে দেখা যাক বেইসের উপপাদ্য কী, এটি কীভাবে গণনা করা হয় এবং কয়েকটি উদাহরণের মাধ্যমে কীভাবে এটি প্রয়োগ করা যায়। 

বেইসের উপপাদ্য কি

18 শতকের ব্রিটিশ গণিতবিদ টমাস বেয়েসের নামানুসারে বেয়েসের উপপাদ্য, শর্তযুক্ত সম্ভাবনা নির্ধারণের জন্য একটি গাণিতিক সূত্র। শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা হল সম্ভাব্যতা যে একটি ফলাফল ঘটবে, পূর্ববর্তী ফলাফল অনুরূপ পরিস্থিতিতে ঘটেছে কিনা। বেইসের উপপাদ্যটি নতুন বা অতিরিক্ত প্রমাণের উপর ভিত্তি করে বিদ্যমান ভবিষ্যদ্বাণী বা তত্ত্বগুলিকে সংশোধন (সম্ভাবনা আপডেট করা) করার অনুমতি দেয়। অর্থের ক্ষেত্রে, বেইসের উপপাদ্যটি সম্ভাব্য ঋণগ্রহীতাদের অর্থ ঋণ দেওয়ার ঝুঁকি মূল্যায়ন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উপপাদ্যটিকে বেইসের নিয়ম বা বেইস আইনও বলা হয় এবং এটি বায়েসিয়ান পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রের ভিত্তি।

বেইসের উপপাদ্য কিসের জন্য?

বেইসের উপপাদ্যের প্রয়োগ ব্যাপক এবং আর্থিক ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ নয়। উদাহরণ স্বরূপ, বেয়েসের উপপাদ্য ব্যবহার করা যেতে পারে মেডিক্যাল পরীক্ষার ফলাফলের যথার্থতা নির্ণয় করার জন্য প্রদত্ত ব্যক্তির রোগ হওয়ার সম্ভাবনা এবং পরীক্ষার সামগ্রিক নির্ভুলতা বিবেচনা করে। Bayes এর উপপাদ্যটি পূর্ববর্তী সম্ভাব্যতা বণ্টনের অন্তর্ভুক্তির উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে যা পরবর্তী সম্ভাব্যতা তৈরি করতে পারে। Bayesian পরিসংখ্যানগত অনুমানে, পূর্বের সম্ভাব্যতা হল সম্ভাব্যতা যে নতুন তথ্য সংগ্রহের আগে একটি ঘটনা ঘটবে। অন্য কথায়, এটি একটি পরীক্ষা করার আগে বর্তমান জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে একটি নির্দিষ্ট ফলাফলের সম্ভাব্যতার সর্বোত্তম যুক্তিযুক্ত মূল্যায়নের প্রতিনিধিত্ব করে।

Bayes' উপপাদ্যের সূত্র কি?

পোস্টেরিয়র প্রোবাবিলিটি হল সংশোধিত সম্ভাব্যতা যেটি নতুন তথ্য বিবেচনায় নেওয়ার পরে একটি ঘটনা ঘটবে। Bayes এর উপপাদ্য ব্যবহার করে পূর্ববর্তী সম্ভাব্যতা আপডেট করে পশ্চাদবর্তী সম্ভাব্যতা গণনা করা হয়। পরিসংখ্যানগত দিক থেকে, ঘটনা A ঘটবে এমন সম্ভাব্যতা, এইভাবে, বেইসের উপপাদ্য সেই ঘটনার সাথে সম্পর্কিত নতুন তথ্যের উপর ভিত্তি করে ঘটবে . নতুন তথ্যটি সত্য বলে ধরে নিয়ে অনুমানমূলক নতুন তথ্য দ্বারা ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা কীভাবে প্রভাবিত হতে পারে তা নির্ধারণ করতেও সূত্রটি ব্যবহার করা যেতে পারে।

বেইসের উপপাদ্য ব্যবহারের উদাহরণ

নীচে আমি বেয়েসের উপপাদ্যের দুটি উদাহরণ উপস্থাপন করতে যাচ্ছি যেখানে প্রথম উদাহরণটি শ্বাস-প্রশ্বাসের পরীক্ষায় বেইসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে। দ্বিতীয় উদাহরণটি দেখায় কিভাবে Nvidia (NVDA) ব্যবহার করে স্টক বিনিয়োগের উদাহরণে সূত্রটি উদ্ভূত করা যেতে পারে।

বেইসের উপপাদ্যের সংখ্যাসূচক উদাহরণ

একটি সংখ্যাসূচক উদাহরণ হিসাবে, আসুন কল্পনা করা যাক যে একটি শ্বাস-প্রশ্বাসের পরীক্ষা আছে যা 98% নির্ভুল, যার অর্থ হল 98% সময়ে, এটি এমন একজন ব্যক্তির জন্য একটি সত্যিকারের ইতিবাচক ফলাফল দেখায় যিনি অ্যালকোহল পান করেছেন এবং 98% সময় একটি সত্য দেখায়। অ-অ্যালকোহল ভোক্তাদের জন্য নেতিবাচক ফলাফল। এর পরে, ধরা যাক যে 0,5% লোক অ্যালকোহল সেবন করে। যদি কোনো এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ব্যক্তি অ্যালকোহলের জন্য ইতিবাচক পরীক্ষা করেন, তাহলে সেই ব্যক্তি আসলে একজন অ্যালকোহল ভোক্তা কিনা তা নির্ধারণের জন্য নিম্নলিখিত গণনা করা যেতে পারে।

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76, XNUMX%।
Bayes' থিওরেম দেখায় যে এমনকি যদি একজন ব্যক্তি এই পরিস্থিতিতে ইতিবাচক পরীক্ষা করে, তাহলে প্রায় 80% সম্ভাবনা রয়েছে যে তারা অ্যালকোহল সেবন করবে না।

বেইসের উপপাদ্যের সূত্র নির্ণয় কর

বেয়েসের উপপাদ্যটি কেবল শর্তাধীন সম্ভাব্যতার স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে, যা অন্য একটি ঘটনা ঘটেছে বলে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা। উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ সম্ভাব্যতা প্রশ্ন হতে পারে: "এনভিডিয়ার স্টক মূল্য হ্রাস পাওয়ার সম্ভাবনা কত?" শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা এই প্রশ্নটিকে আরও এক ধাপ এগিয়ে নিয়ে যায়: "NVDA স্টকের দাম কমার সম্ভাবনা কী যে নাসডাক সূচক (NDAQ) আগে পড়েছিল?" A এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা যে B ঘটেছে তা এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: A যদি হয়: "NVDA-এর দাম পড়ে", তাহলে P(NVDA) হল NVDA পড়ার সম্ভাবনা; এবং B হল: "NDAQ ইতিমধ্যেই নেমে গেছে", এবং P(NDAQ) হল সম্ভাব্যতা যে NDAQ কমে গেছে; তারপর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা অভিব্যক্তিটিকে "NDAQ-তে হ্রাস পেলে NVDA-এর পতনের সম্ভাবনাটি NVDA-এর মূল্য হ্রাস পাওয়ার সম্ভাবনার সমান এবং NDAQ সূচকে পতনের সম্ভাবনার উপর NDAQ পড়ে যাবে।"

P(NVDA|NDAQ) = P(NVDA এবং NDAQ) / P(NDAQ) P(NVDA এবং NDAQ) হল A এবং B উভয়ই হওয়ার সম্ভাবনা। P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA) হিসাবে প্রকাশ করা হলে A ঘটার সম্ভাবনার দ্বারা A ঘটার সম্ভাবনাকে গুণিত করা হয়। এই দুটি অভিব্যক্তি সমান হওয়ার বিষয়টি বেয়েসের উপপাদ্যের দিকে নিয়ে যায়, যা লেখা হয়েছে

হ্যাঁ, P(NVDA এবং NDAQ) = P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA) = P(NDAQ) x P(NVDA|NDAQ)
তারপর, P(NVDA|NDAQ) = [P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA)] / P(NDAQ)। যেখানে P(NVDA) এবং P(NDAQ) হল সম্ভাব্যতা যে Nvidia এবং Nasdaq একে অপরকে বিবেচনা না করেই পড়ে যাবে। সূত্রটি প্রমাণ দেখার আগে অনুমানের সম্ভাব্যতার মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করে যে P(NVDA), এবং P(NVDA|NDAQ) প্রমাণ পাওয়ার পরে অনুমানের সম্ভাব্যতার মধ্যে, এনভিডিয়ার জন্য একটি হাইপোথিসিস দেওয়া হয়েছে যা Nasdaq-এ প্রমাণ দেওয়া হয়েছে।